Matematyka finansowa: definicja, wzory i przykłady

Matematyka finansowa to gałąź matematyki zajmująca się badaniem kwantyfikowalnych zmian, jakie zachodzą w kapitale finansowym (wkładach pieniężnych) w czasie. Jest gałęzią matematyki zajmującą się badaniem operacji finansowych, w których przepływy pieniężne są wymieniane i mogą podlegać ilościowym wahaniom. Wynika to z faktu, że kapitał generuje odsetki dzięki czasowi, który spędza na lokacie.

Co to jest matematyka finansowa?

Matematyka finansowa jest pochodną matematyki stosowanej, która bada wartość pieniądza w czasie. Łącząc kapitał, stopę i czas w celu uzyskania zwrotu lub odsetek, poprzez metody wyceny, które umożliwiają podejmowanie decyzji inwestycyjnych.

Po zdefiniowaniu matematyki finansowej w zakresie rynków finansowych i akcji, powinieneś znać najczęstsze ich przykłady. Są nimi: wycena pochodnych papierów wartościowych, takich jak opcje i zarządzanie ryzykiem, głównie w zarządzaniu portfelem, inżynierii finansowej i finansów obliczeniowych.

Zostało udowodnione, że pieniądz traci wartość w czasie. Oznacza to, że pewna ilość pieniędzy otrzymana w przyszłości traci wartość z powodu inflacji i związanej z nią utraty siły nabywczej. Gdyby nie było inflacji, przyszłe pieniądze nadal byłyby warte mniej niż obecne. Dzieje się tak dlatego, że konsumenci wolą wymienić obecną konsumpcję na przyszłą, mając możliwość zainwestowania swoich środków w projekty, które przynoszą realny zysk.

W metodzie odsetek prostych odsetki są zawsze obliczane na podstawie wartości początkowej, tj. zainwestowanego kapitału. W ten sposób odsetki w każdym okresie są równe wartości początkowej pomnożonej przez stopę procentową.

Do wykonania tej operacji potrzebne są następujące elementy:

C- Odnosi się do zainwestowanego kapitału.

t – oznacza czas.

M- Tutaj znajdujemy kwotę równą kapitałowi plus odsetki.

Jest to równanie odsetek prostych.

M= C (1+ it)

W poprzednim równaniu kwotę określamy mianem wartości przyszłej, ponieważ odnosi się ona do ilości pieniędzy, które inwestycja osiągnie w przyszłym terminie. Jest to ilość pieniędzy, która umożliwi inwestycji osiągnięcie przyszłego terminu poprzez wygenerowanie odsetek przy określonej prostej stopie procentowej.

Z drugiej strony, NPV jest mechanizmem wyceny aktywów. Jego obliczenie polega na zdyskontowaniu przyszłego przepływu o stopę zwrotu oferowaną przez różne porównywalne alternatywy inwestycyjne, potocznie nazywaną kosztem kapitału. W ten sposób NPV jest równoważne zainwestowanemu kapitałowi, więc można go oszacować za pomocą następującego równania

C= M / (1+it)

Odsetki składane: pieniądze i czas to dwa czynniki związane z życiem i działalnością ludzi. Kiedy gromadzi się nadwyżka pieniędzy, są one oszczędzane przez pewien okres czasu, aby zarobić odsetki, które powiększają pierwotny kapitał.

Tematami matematyki finansowej są: Odsetki, dyskonta proste, renty, amortyzacja kredytów, amortyzacja kosztów.

Klasyfikacje matematyki finansowej

W ramach matematyki finansowej badane są proste i złożone operacje finansowe, definicja jest następująca:

Proste: analizuje pieniądze, które pochodzą z jednego kapitału (zwanego odsetkami).
Złożone: analizuje pieniądze, które pochodzą z więcej niż jednego kapitału (zwanego dochodem).

Inną klasyfikacją jest zastosowanie operacji aplikacji, gdzie mogą być dwie główne zasady w zależności od czasu:

Zasada kapitalizacji: Jeśli mam przepływy dzisiaj i chcę wiedzieć, ile będę miał w przyszłości.
Zasada dyskontowania: Ile mam przepływów w przyszłości i chcę wiedzieć, ile to jest warte dzisiaj.

Cel możliwości analizowania tego przepływu opiera się na zasadzie, że pieniądze tracą wartość w czasie. Czy zauważyłeś, że kupno paczki chipsów było kiedyś warte 2 dolary, a teraz jest warte 5 dolarów? Niektórzy ludzie myślą o tym jako o „inflacji”, ale to niekoniecznie tylko to. Istnieje również inny czynnik zwany „kosztem alternatywnym”, który jest tym, co poświęcam, mając pieniądze płynące w takiej, a nie innej koncepcji. Przykład: „Masz dziś 100 000 dolarów, możesz z tego zrobić imprezę, albo możesz zainwestować i za dwa miesiące mieć 105 000 dolarów”. Jeśli wybierzesz pierwszą opcję, kosztem alternatywnym będzie to, że nie zarobisz 5 000 dolarów więcej. Jeśli wybierzesz drugą opcję, kosztem alternatywnym będzie to, że nie zrobisz imprezy. Dlatego matematyka finansowa powstała po to, aby analizować przepływy i w zależności od decyzji, jaką chcesz podjąć, możesz dodać lub usunąć to pojęcie, które na razie nazwiemy „sumą inflacji i kosztu alternatywnego”.

Inflacja

Całość nazywana jest „utratą wartości w czasie” i odpowiada pewnym elementarnym zasadom:

Jeśli ktoś staje wobec dwóch kapitałów o tej samej wartości w różnym czasie, preferowany jest ten, którego czas jest najkrótszy.
Jeśli mamy do czynienia z dwoma kapitałami o różnych kwotach w tym samym czasie, preferowany jest ten, którego kwota jest wyższa.

Wszystkie te zasady i podstawy są wykorzystywane do porównywania przepływów, które nie są porównywalne ze względu na czas. Jeśli masz 100 000 dolarów dzisiaj i 100 000 dolarów za dwa lata, nominalnie jest to nadal 100 000 dolarów, ale wartość jest wyższa dzisiaj, ponieważ to, co możesz kupić dzisiaj, jest większe niż to, co możesz kupić w przyszłości o tej samej wartości nominalnej. Tak więc matematyka finansowa odgrywa tę rolę.

Matematyka finansowa: proste transakcje finansowe

Nazywane również odsetkami, analizują przepływy pojedynczego kapitału, mogą być proste lub złożone, pozwalają obliczyć kapitał na przyszłą datę. W krótkim okresie i za obopólną zgodą stosuje się kapitalizację prostą, gdzie podstawą jest to, że przyszłe przepływy (zwane odsetkami) nie stają się częścią kapitału. Stosowany wzór jest następujący:

Gdzie:

M= kwota odpowiadająca wartości końcowej kapitału, który ma być wyceniony.

N= czas, jaki zajmie wycena.

I= Obowiązująca stopa procentowa.

Przykład: Posiadasz kapitał w wysokości 100$ i chcesz wiedzieć, jaka będzie jego wartość za 6 miesięcy, przy założeniu, że obowiązująca stopa procentowa wynosi 5% miesięcznie. Zgodnie z tym wzorem, wyrażenie matematyczne daje następujący wynik:

Zakłada się w tym przypadku, że odłożenie 100 dolarów na sześć miesięcy, przy zachowaniu wszystkich uzgodnionych warunków, zakończy się kwotą 130 dolarów.

Procent składany

W przypadku procentu składanego, jest on stosowany w długim okresie. Może być również stosowany w krótkim okresie, a jego główną cechą jest to, że odsetki wygenerowane w danym okresie stają się częścią kapitału, więc odsetki kumulują więcej odsetek. Używając tego samego przypadku co powyżej, można wykazać, że daje on wyższy wynik, jego wzór jest następujący:

Zastosowanie tego wzoru do naszego przypadku daje następujący wynik:

Różnica 4 dolarów odpowiada temu, że odsetki z miesiąca 1 były kapitałem z miesiąca 2 i tak dalej.

Należy również zauważyć, że te formuły pokazują antecedencje dla przyszłości. Aczkolwiek istnieje również koncepcja zwana dyskontowaniem, która pozwala mi przejść z przyszłości do przeszłości. Formuła jest następująca:

Matematyka finansowa: Złożone transakcje finansowe.

Koncepcja ta jest również nazywana dochodem i analizuje wiele kapitałów i wiele scenariuszy czasowych. Ze względu na złożoność, temat ten zostanie omówiony w innym blogu, ale dzisiaj wskażemy kilka kwestii do rozważenia:

Dochód może być analizowany jako tymczasowy (na określony okres) lub stały (bez określonego okresu).

Czynsz może być analizowany jako należny (płatność następuje po określonej dacie) lub z góry (płatność następuje przed określoną datą).

Płatność może być natychmiastowa lub odroczona (kiedy zobowiązanie lub należność są znane i zarejestrowane dzisiaj, chociaż płatność lub pobranie nastąpi dopiero w przyszłości).

Znaczenie statystyki

Statystyka jest powszechnie stosowana w pracy akademickiej, ale umożliwia również rozwój rewolucyjnych technologii, takich jak uczenie maszynowe. Prowadzi to do bardziej wyspecjalizowanych dyscyplin w finansach, takich jak:

Eksploracja danych: potrafisz stosować statystykę i rozpoznawać wzorce w danych w celu rozwiązywania problemów.
Data science: dyscyplina, która wykorzystuje metody naukowe do wydobywania wiedzy z danych.
Ekonometria: dyscyplina, która pozwala na zastosowanie metod statystycznych do analizy danych ekonomicznych.
Nauka aktuarialna: zajmuje się wykorzystaniem technik ilościowych i statystycznych do radzenia sobie z niepewnością dotyczącą przyszłości. W finansach jest to ważne dla badania oceny ryzyka w sektorze finansowym i ubezpieczeniowym.

Znaczenie matematyki finansowej

Zastosowanie matematyki i statystyki w finansach wzrosło, ponieważ usługodawcy finansowi używają ich jako części swoich codziennych operacji.

Aby lepiej zobrazować powyższe, możemy opisać ich główne zastosowania:

Fundusze hedgingowe (alternatywne instrumenty inwestycyjne)
Banki inwestycyjne
Banki komercyjne i detaliczne
Spółki zarządzające inwestycjami
Korporacyjne organy skarbowe i organy regulacyjne

Ponadto matematyka finansowa pozwala rozwiązywać problemy takie jak:

wycena pochodnych papierów wartościowych, tworzenie i strukturyzacja portfela, ilościowe strategie inwestycyjne i zarządzanie ryzykiem.

W miarę jak rynki dążą do zwiększenia swojej efektywności, metody te będą nadal przyjmowane.

Finanse ilościowe są jednak wykorzystywane na co dzień na rynkach finansowych do rozwiązywania problemów związanych z wyceną aktywów i instrumentów finansowych. Również są wykorzystywane do optymalizacji alokacji kapitału i zasobów. Przykładem jest model Blacka-Scholesa Mertona, opracowany w celu dokładnej wyceny kontraktów opcyjnych, który był bardzo trudny i ograniczony.

Aspekty negatywne

Nie wszystko jest pozytywne, wielu krytyków twierdzi, że poleganie na rozwoju modeli matematycznych może prowadzić do fatalnych wyników w ekonomii. Nie można jednak ignorować faktu, że wykorzystanie matematyki finansowej staje się coraz ważniejsze w finansach. Tym bardziej przy próbach opracowania strategii mających na celu zwiększenie efektywności rynków.